В этой статье представлен подробный разбор задачи на Уравнение Бернулли (на движение потока реальной жидкости). Также показано, как построить пьезометрическую линию и напорную линию (т.е. построить диаграмму Уравнения Бернулли)
- Исходные данные
- Решение
- 1) Проведем два сечения и плоскость сравнения.
- 2) Запишем для сечений 0-0 и 3-3 уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
- 3) Теперь упростим его, подставив нужные данные из задачи
- 4) Теперь распишем потери напора по пути движения жидкости:
- 5) Перепишем уравнение, используя 4v1 вместо v2, и затем вынесем v21/2g за скобку:
- 6) Теперь разберемся с коэффициентами местных сопротивлений в уравнении:
- 7) Теперь необходимо определить коэффициенты гидравлического трения λ для обоих участков
- 8) Подставляем все значения коэффициентов в уравнение Бернулли
- 9) Теперь необходимо проверить режим движения.
- 10) Вычисляем расход воды в системе (можно взять скорость и площадь сечение любого из участков):
- 12) Вычислив потери, переходим к построению линий.
- Видеолекция по решению задачи
Исходные данные
H1 = 7 м, H2 = 3 м
Px = 15000 Па (манометрическое давление)
Длины участков: l1 = 10 м, l2 = 8 м
Диаметры участков: d1 = 150 мм, d2 = 75 мм
Температура воды t=15 градусов Цельсия
Трубы: стальные сварные, после эксплуатации
Определить: расход воды Q, и построить пьезометрическую и напорную линии
Решение
1) Проведем два сечения и плоскость сравнения.
Мы можем выбрать любые два сечения в потоке жидкости, уравнение Даниила Бернулли для них будет справедливо.
Если в задаче есть резервуары – то удобно выбрать сечения на поверхности жидкости в них. Обозначим их 0-0 и 3-3, чтобы не было конфликта в названии с участками трубопровода (1) и (2).
Плоскость сравнения – горизонтальная, может быть проведена где угодно, мы записываем уравнение Бернулли относительно нее. Удобнее всего провести ее по линии симметрии трубопровода.
2) Запишем для сечений 0-0 и 3-3 уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
В общем (исходном) виде Уравнение Бернулли для этих сечений будет выглядеть так:
3) Теперь упростим его, подставив нужные данные из задачи
Z – это положение сечения в пространстве относительно плоскости сравнения
p/ρg – избыточное давление в сечении, слева резервуар – под атмосферным давлением, т.к. он открытый, поэтому избыточное давление равно 0. Справа по условию дано манометрическое давление Px.
Скорость в резервуаре принимается равной 0. Поэтому скоростные напоры обращаются в 0 и для сечения 0-0, и для сечения 3-3.
В итоге вот такое уравнение получилось:
Подставим в него известные из условия задачи значения:
4) Теперь распишем потери напора по пути движения жидкости:
Путь движения жидкости: сначала вход в трубу, затем участок диаметром d1, затем внезапное сужение, затем участок с диаметром d2 и выход по уровень.
Используя формулу Дарси для потерь по длине, и Вейсбаха для местных потерь, в итоге получим:
Сейчас важно сделать так, чтобы в уравнении фигурировала бы только одна скорость v1 или v2. Этого можно добиться, исходя из уравнения неразрывности в гидравлической форме:
Отметим для себя, что сейчас вывели, что при уменьшении диаметра вдвое, скорость возрастает в 4 раза. (Так всегда!)
5) Перепишем уравнение, используя 4v1 вместо v2, и затем вынесем v21/2g за скобку:
6) Теперь разберемся с коэффициентами местных сопротивлений в уравнении:
Для этого можно обратится к справочному материалу.
Стандартное значение для подобного входа в трубу из резервуара: ζвх = 0,5
Значение коэффициента местного сопротивления при выходе под уровень: ζвых = 1,0
Для внезапного сужения коэффициент необходимо вычислить по формуле:
7) Теперь необходимо определить коэффициенты гидравлического трения λ для обоих участков
Коэффициент гидравлического трения зависит от числа Рейнольдса Re. А чтобы определить число Рейнольдса, нужно знать скорость, которая нам не известна. Получается замкнутый круг.
Тогда поступают следующим образом. Мы задаемся расчетной формулой для λ для последней, квадратичной зоны сопротивления. В этой зоне λ зависит только от диаметра и шероховатости трубопровода. В последствии нужно будет проверить, действительно ли движение воды по данным участкам соответствует квадратичной зоне сопротивления.
Итак, вычисляем λ1 и λ2. Для нахождения нам необходимо также знать эквивалентную шероховатость стенки трубопровода. Нам известно, что труба стальная, после эксплуатации. По справочным таблицам берем значение из диапазона 0,1-1,5 мм. Зададимся значением 1,0 мм.
Обратите внимание, что тут можно подставлять шероховатость и диаметр в мм, так как важно именно соотношение
8) Подставляем все значения коэффициентов в уравнение Бернулли
Важно слагаемые в скобке посчитать сначала отдельно, не складывать сразу, это пригодится
Тогда v2 = 0,74∙4 = 2,96 м/с
9) Теперь необходимо проверить режим движения.
Проверим сначала первый участок. Для этого необходимо вычислить число Re, и посмотреть, в границы какой зоны это значение попадает. Для вычисления числа Re необходимо значение кинематической вязкости жидкости; ν = 1,15*10-6 для t=15 град. – по справочным данным
Обозначения скорости и кинематической вязкости очень похожи. Кинематическая вязкость обозначается буквой «ню», в данной формуле она в знаменателе
Вычисляем границы зон турбулентности:
Следовательно, предположение о зоне сделано верно, движение потока соответствует квадратичной зоне турбулентного режима
Проверяем второй участок:
Границы зон турбулентности:
На втором участке также квадратичная зона турбулентного режима. На самом деле его можно было и не проверять, т.к. участок с меньшей скоростью (первый) уже оказался в этой зоне.
10) Вычисляем расход воды в системе (можно взять скорость и площадь сечение любого из участков):
(в данном случае скорость и диаметр сечения взяли для первого участка)
11) На последнем этапе необходимо построить напорную (N) и пьезометрическую (П) линии.
Для этого вычислим отдельно скоростные напоры и все потери напора.
12) Вычислив потери, переходим к построению линий.
Сначала строим напорную линию N-N (фиолетовая на данном рисунке)
Напорная линия показывает полную (потенциальную + кинетическую) энергию жидкости в каждом сечении потока.
Начинаем с левого резервуара. Здесь отсутствует кинетическая энергия (скоростной напор), т.к. скорость равна 0. Поэтому линия совпадает с поверхностью воды в резервуаре. Далее от края резервуара вертикально вниз откладываем потерю на вход в трубу. Затем откладываем величину потери hl1 – она происходит по всей длине первого участка, поэтому откладываем это значение (0,06м) именно в конце первого участка и соединяем. Далее откладываем потерю на внезапном сужении, затем потерю на втором участке и потерю на выход.
Линия придет не в уровень воды во втором резервуаре, а выше, на величину избыточного давления Px/ρg. Если «открыть» второй резервуар, то уровень воды оказался бы как раз на этой отметке.
Далее строится пьезометрическая линия П-П (зеленая на данном рисунке). Пьезометрическая линия показывает потенциальную энергию движения жидкости в каждом сечении потока.
Для её построения нужно отложить значение скоростного напора на первом и втором участках от напорной линии, — и получится две линии, параллельные напорной на соответствующих участках. Далее нужно просто соединить эти участки вертикальной линией.
Положение линии над баками совпадает с напорной.
На этом эта задача считается завершенной.
Надеюсь, теперь у вас не должно возникнуть вопроса, что такое пьезометрическая линия, и как ее построить.
