Решение задачи на уравнение Бернулли для реальной жидкости

В этой статье представлен подробный разбор задачи на Уравнение Бернулли (на движение потока реальной жидкости). Также показано, как построить пьезометрическую линию и напорную линию (т.е. построить диаграмму Уравнения Бернулли)

Исходные данные

H1 = 7 м, H2 = 3 м

Px = 15000 Па (манометрическое давление)

Длины участков: l1 = 10 м, l2 = 8 м

Диаметры участков: d1 = 150 мм, d2 = 75 мм

Температура воды t=15 градусов Цельсия

Трубы: стальные сварные, после эксплуатации

Определить: расход воды  Q, и построить пьезометрическую и напорную линии

Решение

1) Проведем два сечения и плоскость сравнения.

Мы можем выбрать любые два сечения в потоке жидкости, уравнение Бернулли для них будет справедливо.

Если в задаче есть резервуары – то удобно выбрать сечения на поверхности жидкости в них. Обозначим их 0-0 и 3-3, чтобы не было конфликта в названии с участками трубопровода (1) и (2).

Плоскость сравнения – горизонтальная, может быть проведена где угодно, мы записываем уравнение Бернулли относительно нее. Удобнее всего провести ее по линии симметрии трубопровода.

2) Запишем для сечений 0-0 и 3-3 уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

В общем (исходном) виде Уравнение Бернулли для этих сечений будет выглядеть так:

3) Теперь упростим его, подставив нужные данные из задачи

Z – это положение сечения в пространстве относительно плоскости сравнения

p/ρg – избыточное давление в сечении, слева резервуар – под атмосферным давлением, т.к. он открытый, поэтому избыточное давление равно 0. Справа по условию дано манометрическое давление Px.

Скорость в резервуаре принимается равной 0. Поэтому скоростные напоры обращаются в 0 и для сечения 0-0, и для сечения 3-3.

В итоге вот такое уравнение получилось:

Подставим в него известные из условия задачи значения:

4) Теперь распишем потери напора по пути движения жидкости:

Путь движения жидкости: сначала вход в  трубу, затем участок диаметром d1, затем внезапное сужение, затем участок с диаметром d2 и выход по уровень.

Используя формулу Дарси для потерь по длине, и Вейсбаха для местных потерь, в итоге получим:

Сейчас важно сделать так, чтобы в уравнении фигурировала бы только одна скорость v1 или v2. Этого можно добиться, исходя из уравнения неразрывности в гидравлической форме:

Отметим для себя, что сейчас вывели, что при уменьшении диаметра вдвое, скорость возрастает в 4 раза. (Так всегда!)

5) Перепишем уравнение, используя 4v1 вместо v2, и затем вынесем v21/2g за скобку:

6) Теперь разберемся с коэффициентами местных сопротивлений в уравнении:

Для этого можно обратится к справочному материалу.

Стандартное значение для подобного входа в трубу из резервуара: ζвх = 0,5

Значение коэффициента местного сопротивления при выходе под уровень: ζвых = 1,0

Для внезапного сужения коэффициент необходимо вычислить по формуле:

7) Теперь необходимо определить коэффициенты гидравлического трения λ для обоих участков 

Коэффициент гидравлического трения зависит от числа Рейнольдса Re. А чтобы определить число Рейнольдса, нужно знать скорость, которая нам не известна. Получается замкнутый круг.

Тогда поступают следующим образом. Мы задаемся расчетной формулой для  λ для последней, квадратичной зоны сопротивления. В этой зоне λ зависит только от диаметра и шероховатости трубопровода. В последствии нужно будет проверить, действительно ли движение воды по данным участкам соответствует квадратичной зоне сопротивления.

Итак, вычисляем λ1 и λ2. Для нахождения нам необходимо также знать эквивалентную шероховатость стенки трубопровода. Нам известно, что труба стальная, после эксплуатации. По справочным таблицам берем значение из диапазона 0,1-1,5 мм. Зададимся значением 1,0 мм.

Обратите внимание, что тут можно подставлять шероховатость и диаметр в мм, так как важно именно соотношение

8) Подставляем все значения коэффициентов в уравнение Бернулли

Важно слагаемые в скобке посчитать сначала отдельно, не складывать сразу, это пригодится

Тогда v2 = 0,74∙4 = 2,96 м/с

9) Теперь необходимо проверить режим движения.

Проверим сначала первый участок. Для этого необходимо вычислить число Re, и посмотреть, в границы какой зоны это значение попадает. Для вычисления числа Re необходимо значение кинематической вязкости жидкости; ν = 1,15*10-6 для t=15 град. – по справочным данным

Обозначения скорости и кинематической вязкости очень похожи. Кинематическая вязкость обозначается буквой «ню», в данной формуле она в знаменателе

Вычисляем границы зон турбулентности:

Следовательно, предположение о зоне сделано верно, движение потока соответствует квадратичной зоне турбулентного режима

Проверяем второй участок:

Границы зон турбулентности:

На втором участке также квадратичная зона турбулентного режима. На самом деле его можно было и не проверять, т.к. участок с меньшей скоростью (первый) уже оказался в этой зоне.

10) Вычисляем расход воды в системе (можно взять скорость и площадь сечение любого из участков):

(в данном случае скорость и диаметр сечения взяли для первого участка)

11) На последнем этапе необходимо построить напорную (N) и пьезометрическую (П) линии.

Для этого вычислим отдельно скоростные напоры и все потери напора.

12) Вычислив потери, переходим к построению линий.

как построить пьезометрическую и напорную линию

Сначала строим напорную линию N-N (фиолетовая на данном рисунке)

Напорная линия показывает полную (потенциальную + кинетическую) энергию жидкости в каждом сечении потока.

Начинаем с левого резервуара. Здесь отсутствует кинетическая энергия (скоростной напор), т.к. скорость равна 0. Поэтому линия совпадает с поверхностью воды в резервуаре. Далее от края резервуара вертикально вниз откладываем потерю на вход в трубу. Затем откладываем величину потери hl1 – она происходит по всей длине первого участка, поэтому откладываем это значение (0,06м) именно в конце первого участка и соединяем. Далее откладываем потерю на внезапном сужении, затем потерю на втором участке и потерю на выход.

Линия придет не в уровень воды во втором резервуаре, а выше, на величину избыточного давления Px/ρg. Если «открыть» второй резервуар, то уровень воды оказался бы как раз на этой отметке.

Далее строится пьезометрическая линия П-П (зеленая на данном рисунке). Пьезометрическая линия показывает потенциальную энергию движения жидкости в каждом сечении потока.

Для её построения нужно отложить значение скоростного напора на первом и втором участках от напорной линии, — и получится две линии, параллельные напорной на соответствующих участках. Далее нужно просто соединить эти участки вертикальной линией.

Положение линии над баками совпадает с напорной.

На этом эта задача считается завершенной. Ура!

Надеюсь, теперь у вас не должно возникнуть вопроса, что такое пьезометрическая линия, и как ее построить.